艾美·諾特：對稱性如何揭示宇宙的守恆定律

引言

想像一下，你是一位漂浮在深邃太空中的太空人，你用盡全力扔出一塊石頭。你會認為這塊石頭會以恆定速度沿直線前進，這符合牛頓第一定律。但實際上，它最終會減速並停止。這是為什麼呢？石頭的能量去了哪裡？在 20 世紀初，能量守恆的問題困擾著包括愛因斯坦在內的許多偉大科學家。愛因斯坦提出了一個可能的解決方案，但一位鮮為人知、沒有薪水的數學家艾美·諾特證明他是錯的。她開創了一種全新的物理學範式，這範式是所有粒子物理學的基礎，並解釋了為什麼任何事物都是守恆的。

愛因斯坦與能量守恆的難題

廣義相對論的早期挑戰

故事始於 1915 年的哥廷根大學，當時愛因斯坦正在講授六場關於他的新引力理論的講座，也就是後來廣為人知的廣義相對論。講座廣受好評，但愛因斯坦尚未確定場方程式的最終形式。他面臨的一個問題是如何證明在他的新理論中總能量是守恆的。

尋找能量守恆方程式

傳統觀點認為，能量守恆定律是物理學的基石。然而，愛因斯坦的新方程式讓科學家們開始質疑引力場能量的所在。他們找不到明確的方程式來描述能量的守恆。愛因斯坦提出，能量守恆原理可能是解決場方程式的關鍵。

希爾伯特的嘗試與諾特的加入

著名數學家大衛·希爾伯特對此很感興趣，他開始尋找愛因斯坦新理論中的能量守恆方程式。但他能找到的最好的結果只是一組稱為比安基恆等式的方程式。這些方程式表明能量是守恆的，但僅在完全空曠的宇宙中才成立。對於像我們這樣充滿物質的宇宙，它們似乎毫無用處。希爾伯特一籌莫展，於是他找來了他的新助手艾美·諾特。

艾美·諾特與對稱性的力量

早年生活與學術阻礙

艾美·諾特從小就夢想追隨她父親的腳步，她的父親是埃爾朗根大學的數學教授。她獲得了特別許可，可以參加大學的講座，但大學拒絕承認她為正式學生。埃爾朗根學術院認為，招收女性「會顛覆所有學術秩序」。

對稱性的啟發

1903 年，她在哥廷根度過了一個學期。在那裡，她學到了一種使用對稱性來處理幾何學的新方法。對稱性是一個容易識別但難以描述的概念。例如，等邊三角形具有三個對稱軸，繞這些軸進行鏡像反射，三角形看起來保持不變。

數學中的廣義對稱性

數學家將對稱性的概念進一步推廣為任何可以使對象保持不變的行為。例如，旋轉等邊三角形 120 度或 240 度，三角形仍然保持不變。這些動作捕捉了等邊三角形的所有對稱性。

抽象對稱性與連續對稱性

對稱性也存在於更抽象的數學函數中。例如，如果將一個函數向上或向下移動一個常數值 a，則其所有 y 值都會改變。但是，如果對該函數求微分，則會得到斜率，無論添加什麼常數，斜率都保持不變。因此，存在一種平移對稱性。與三角形的對稱性不同，這是一種連續對稱性，意味著可以將其移動任意量。

諾特的專業知識與貢獻

在接下來的 12 年裡，諾特成為對稱性方面的領先專家。她成為德國第二位獲得數學博士學位的女性，並利用她的專業知識來幫助希爾伯特和愛因斯坦解決能量守恆問題。

愛因斯坦的錯誤與諾特的洞見

愛因斯坦提出的能量守恆方程式

這個問題一直困擾著愛因斯坦，因此他提出了一個新的守恆方程式。它指出，如果將物質的能量和引力場的能量加在一起，那麼總和保持不變。它的變化在時間和空間上為零。

諾特的反駁

但當諾特看到這個方程式時，她深信愛因斯坦犯了一個根本性的錯誤，因為這個方程式忽略了廣義相對論建立的基礎原則。

廣義相對論的基石：廣義協變性

十年前，在 1905 年，愛因斯坦提出了他的狹義相對論，它建立在物理定律獨立於參考系的觀點之上。但到目前為止，愛因斯坦只將這個原則應用於慣性參考系，即以恆定速度運動的參考系。愛因斯坦開始思考將這個原則推廣到更一般的運動狀態需要什麼。

等效原理的啟發

愛因斯坦在專利局做白日夢時，他產生了他稱之為一生中最快樂的想法。他想像對面大樓頂部的擦窗工掉下來。愛因斯坦意識到，當這個人墜落時，他不會感到自己的重量。他會處於失重狀態，並且他掉落的任何東西都會相對於他保持靜止。這就像他漂浮在太空中一樣。

加速運動與引力的等效性

愛因斯坦說，當那個人在運動時，也就是自由落體運動，他們實際上根本感覺不到任何引力。加速運動和引力作用之間必然存在某種等效性。因此，愛因斯坦得出了他稱之為等效原理的結論。如果你被困在太空中以每秒平方 9.8 米的速度加速的火箭中，那麼這與你站在地球表面完全相同。

廣義協變性與張量

愛因斯坦需要確保引力定律在每個參考系中都具有相同的形式。這就是廣義協變性的概念，它是廣義相對論的核心原則之一。為了滿足這一點，愛因斯坦知道他必須使用稱為張量的特殊數學對象。向量是一種簡單的張量。張量可以從一個坐標系轉換到另一個坐標系，但張量保持不變。

諾特發現的問題：偽張量

諾特發現的問題正是這個，因為當她看到愛因斯坦提出的能量守恆方程式時，它包含一個偽張量。顧名思義，它並不是真正的張量。當你試圖將它從一個參考系轉換到另一個參考系時，它在不同的參考系中不會保持相同的量。你在一個參考系中可能觀察到的引力能會完全在另一個參考系中消失。

諾特的質疑：廣義協變性與能量守恆的衝突？

諾特意識到愛因斯坦提出的解決方案不可能是答案，這讓她思考，「如果廣義協變性和能量守恆根本不相容呢？如果是這樣，那是為什麼？」廣義協變性指出，當你改變參考系時，物理定律必須保持不變。這是一種對稱性，這正是諾特一生都在研究的內容。

諾特定理：對稱性與守恆定律的聯繫

宇宙的對稱性與守恆定律

她開始思考宇宙的對稱性，從最簡單的情況開始：一個空曠的靜態宇宙。在這個宇宙中，沒有任何一個點是特別的。在空間中進行平移，宇宙是完全對稱的。這個宇宙在旋轉下也是對稱的。時間平移對稱性意味著，如果你今天或明天做一個實驗，你會得到相同的結果。

最小作用量原理與歐拉-拉格朗日方程式

諾特使用作用量來了解不同的對稱性如何影響物理學。她發現，如果實驗的結果現在和稍後的一個小時間間隔 epsilon 相同，那麼這會如何影響作用量？歐拉和拉格朗日發現，只要滿足這組微分方程式，作用量最小原理就會被遵守。

時間平移對稱性與能量守恆

諾特證明，時間平移對稱性等同於能量守恆。她證明，幾個世紀以來，人們一直不知道守恆定律來自哪裡，但現在諾特發現了所有守恆定律的起源。她證明，任何時候你有一個連續的對稱性，你都會得到一個相應的守恆定律。平移對稱性給你動量守恆，旋轉對稱性給你角動量守恆，時間平移對稱性給你能量守恆。

膨脹宇宙中的能量不守恆

在 1920 年代，天文學家測量了遙遠星系的velocity，他們意識到所有這些星系都在遠離我們。它們離我們越遠，移動得越快。這意味著在遙遠的過去，一切都一定靠得更近。在 1990 年代，對超新星的精確測量顯示，不僅宇宙在膨脹，而且膨脹還在加速。這意味著在較長的時間尺度上，我們的宇宙在時間上是不對稱的。時間對稱性不再成立，能量，正如我們通常認為的那樣，是不守恆的。

能量的消失

光子會隨著宇宙膨脹而失去能量。當不存在時間或空間對稱性時，能量和動量是不守恆的。諾特的發現解釋了為什麼岩石或光子會失去能量。

短時間尺度上的近似守恆

在我們習慣的短時間尺度上，時間平移對稱性幾乎成立。也就是說，今天做的實驗和明天做的實驗會得到相同的結果。但從數百萬年的時間尺度來看，宇宙的膨脹是不能忽略的，對稱性被打破。

諾特的第二定理：局部對稱性與連續性方程式

局部對稱性與廣義相對論

諾特的第一個定理解釋了為什麼岩石或光子會失去能量，但它並沒有完全解決廣義相對論中的能量守恆問題。諾特只處理過一個空的宇宙，在這種宇宙中，你可以移動整個宇宙，物理定律仍然保持不變。但在廣義相對論中，情況並非如此，因為曲率會因點而異。無論你的運動方式如何，物理定律看起來總是相同的。這是廣義協變性，它是一種在各處都成立的對稱性。它意味著在任何小區域，我們都可以改變我們的參考系。

連續性方程式的意義

在第二個定理中，諾特證明，對於這些局部對稱性，你不再會得到像古典物理學中那樣適當的守恆定律。相反，你得到的是僅在局部有效的東西：一個連續性方程式。在任何單獨的部分中，連續性方程式看起來與以前完全相同，因此在時空的任何小區域中，能量是守恆的。但當我們將這些部分連接在一起時，我們需要考慮時空的曲率。

連續性方程式的應用

諾特發現了一個類似的連續性方程式，但有一個重要的區別。她發現了宇宙中能量流動的守恆方式，並將她所發現的等同於比安基恆等式。諾特用一篇論文揭示了所有守恆定律的來源，並解決了希爾伯特和愛因斯坦在廣義相對論中無法解決的問題。

諾特的遺產

對物理學的深遠影響

諾特的定理是 20 世紀物理學最重要的定理，物理學家開始根據這些對稱性來思考物理學。她通過對稱性來解釋物理學，使我們更接近統一所有事物的理論。

對量子世界的啟發

物理學家開始將這些想法應用於量子世界，意識到像電子這樣的帶電粒子也具有對稱性。諾特的見解直接導致了新基本粒子的發現，例如夸克和希格斯玻色子。它告訴我們自然力量來自哪裡，甚至有助於解釋宇宙中所有質量的起源。

諾特的堅持與奉獻

即使在她被納粹開除後，她仍然繼續教數學。她對數學的熱愛使她不分歧視地教導每個人，包括穿著納粹制服的學生。愛因斯坦在紐約時報的訃告中寫道：「諾特小姐是自高等教育開始以來產生的最重要的創造性數學天才。」 諾特的成就激勵著我們去學習和探索，不斷提出問題，進行實驗，並做出發現。